3.2 Logic gates and logic circuits 逻辑门与逻辑电路

Syllabus learning goals 考纲学习目标

完成本节后，学生需要能够：

• 使用 NOT、AND、OR、NAND、NOR 与 XOR (EOR) gate symbols。
• 定义每种 gate 的 operation，并构建 truth table。
• 从 problem statement、logic expression 或 truth table 构建 logic circuit。
• 从 problem statement、logic circuit 或 logic expression 构建 truth table。
• 从 problem statement、logic circuit 或 truth table 构建 logic expression。

除 NOT 外，本考纲中的 gate 只使用两个 inputs。不要凭直觉猜 final output；为每个 intermediate output 建一列并逐层计算。

1 Binary logic 二进制逻辑

• 0 表示 false / off / low。
• 1 表示 true / on / high。

输入通常写作 A、B、C，输出写作 X、Y 或 Q。Gate 按固定规则把 input values 转换为 output value。

2 The six logic gates

XOR 不是 OR：1 XOR 1 = 0，因为 inputs 相同。

Complete truth tables

快速关系：

• A NAND B = NOT (A AND B)
• A NOR B = NOT (A OR B)
• A XOR B = 1 only when A and B are different。

3 Reading logic expressions

Brackets 决定运算顺序。先算最里面，再逐层向外。

X = (A NOR B) NAND (C XOR B)

拆成 intermediate results：

P = A NOR B
Q = C XOR B
X = P NAND Q

P 和 Q 只是中间结果名称，并不是新的 inputs。

NOT and brackets

X = NOT ((A AND B) OR C)

NOT 作用于整个 ((A AND B) OR C)。若 brackets 丢失，电路含义会改变。

若题目写 Do not simplify the expression，必须沿 circuit 原有 gate 顺序记录 sub-expressions，不要换成更短但不同结构的表达式。

4 Expression to logic circuit

采用 inside-out 方法。

Example：

X = NOT (((A AND B) OR C) AND (C NOR D))

步骤：

1. P = A AND B 2. Q = P OR C 3. R = C NOR D 4. S = Q AND R 5. X = NOT S

连接关系：

A ----\
       AND -> P ----\
B ----/              OR -> Q ----\
C ------------------/              AND -> S -> NOT -> X
C ----\                            /
       NOR -> R ------------------/
D ----/

Drawing checklist

• 每个 bracket group 是否有对应 gate？
• 同一 input 是否在需要时正确分支？
• Gate output 是否接到下一层 input？
• 最外层 operator 是否成为最后一个 gate？
• Output 是否正确标记？

5 Logic circuit to expression

从 inputs 向 output 逐层给 wires 命名。

P = A XOR B
Q = B AND C
R = Q OR A
X = (NOT P) NAND R

代回后：

X = (NOT (A XOR B)) NAND ((B AND C) OR A)

Mark-secure method

• 在每个 gate output 旁写 sub-expression。
• 遇到 branching input，不要改变原 input value。
• 最后把 sub-expressions 放入 final gate。
• 保留 NOT、NAND、NOR 的完整 brackets。

真题评分常分别给 intermediate expression 和 final combination 分数。保留 working，即使最后一步错误仍可能得 method marks。

6 Constructing a truth table

有 n 个 inputs，就有 2^n rows：2 inputs 有 4 rows；3 inputs 有 8 rows；4 inputs 有 16 rows。

三输入标准顺序相当于从 binary 000 数到 111：

Worked example

X = (A NOR B) NAND (C XOR B)

最终 column 是 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1，与对应 mark scheme 一致。

每个 sub-expression 单独一列，可以避免漏掉 NOT 或混淆 NAND/NOR，也方便逐行检查。

7 Problem statement to expression

先翻译关键词：

• “and” → AND
• “or / one or more” → OR
• “not / off / not detected” → NOT
• “either but not both / different” → XOR

例：E=1 表示 security system on，A=1 表示 daylight low，C=1 表示 person detected。三者都满足时 floodlight 才亮：

X = E AND A AND C

系统开启，并且 door/person 条件至少一个为真时 alarm 启动：

Y = E AND (B OR C OR D)

Brackets 不能省略。E AND (B OR C OR D) 表示 E 始终必须为 1；(E AND B) OR C OR D 的含义不同。

8 Truth table to expression

为每一行 output = 1 写一个 AND term，再用 OR 连接所有 terms。

若 Q=1 只出现在：

R S T
0 0 1
1 1 0

第一行写：

NOT R AND NOT S AND T

第二行写：

R AND S AND NOT T

完整 expression：

Q = (NOT R AND NOT S AND T) OR (R AND S AND NOT T)

Row-to-term rule

• Input 为 1：写 variable 本身。
• Input 为 0：写 NOT variable。
• 同一 row 的条件用 AND。
• 不同 output-1 rows 用 OR。

9 NAND, NOR and XOR traps

• NAND：先算 AND，再反转；只有 1,1 时输出 0。
• NOR：先算 OR，再反转；只有 0,0 时输出 1。
• XOR：inputs 不同时输出 1；相同时输出 0。

0 XOR 1 = 1
1 XOR 0 = 1
0 XOR 0 = 0
1 XOR 1 = 0

有连续 XOR 或复杂 brackets 时，严格按照 circuit/brackets 建 intermediate columns，不要把 XOR 当作 OR。

10 Common mistakes 常见失分点

• 把 XOR 写成 “one or both inputs are 1”；这是 OR。
• NAND/NOR 忘记 final inversion。
• NOT 的 brackets 范围错误。
• Expression → circuit 时不从最内层开始。
• Circuit → expression 时省略 intermediate brackets。
• Truth table 不是 2^n rows，或 input combinations 重复/遗漏。
• 不写 intermediate columns，final output 出错后无法定位。
• Problem statement 中的关键 brackets 丢失。
• Truth table → expression 时错误使用 output 0 rows。
• 题目要求 do not simplify 时改变原 gate structure。

11 Exam-answer checklist 真题检查表

• 能否一句话准确描述六种 gates？
• 是否记住 XOR = different inputs？
• 是否按 000... 到 111... 列出所有 rows？
• 是否为每个 bracket group 建 intermediate result？
• NAND/NOR 是否进行了 inversion？
• Circuit 最后一层是否对应 expression 最外层 operator？
• Expression 是否保留清楚 brackets？
• 从 truth table 写 expression 时，是否只选 output 1 rows？
• 每个 output-1 row 是否用 AND，再用 OR 合并？
• 是否保留 working 以争取 method marks？

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本材料依据 9618 syllabus 3.2 的五项要求，并综合本页所列 2021-2025 past-paper questions 及 mark schemes。步骤和示例围绕 gate definitions、intermediate working、brackets 和 output-1 rows 组织。